Problema PG4

Solución al Problema PG4

Solución al Problema PG4

Solución 1 por Israel Díaz

Israel Diaz Supongamos que el triangulo mayor inscrito sea ABC en donde theta es la medida del angulo B y ( E en AB ) . 
Sea M el punto medio del segmento EF . 
Y vamos a nombrar las variables angulares: 
Sean alfa=m<EPB ; x=m<EBP ; phi =m<EMP . 
Vamos a utilizar un teorema (*) conocido de la PRE: 
m<EPB=m<MPF . el cual es la llave de la solucion .

Empecemos m>ACP=x luego se cumple que :
PQ = PC sen(x) ......(1)
Ahora ley de senos en el triangulo BEP :
EB . sen(x) = PE . sen(alfa) .....(2) 
Los triangulos PMC y PEF son semejantes : ( la prueba es usando (*) y ciclicos ) 
PE . PC = PM . PF .....(3) 
Por cateto opuesto a hipotenusa : 
PM . sen (phi ) = PS ...(4)
MF = BF . sen(theta/2) ...(5)
Aplicando ley de senos en el triangulo PMF :
PF . sen (alfa) = MF . sen (phi) ....(6) 
Y tambien por isosceles : BF=EB ....(7)

Ahora multiplicando (1) x (2) x (3) x ....x (7) y cancelando se obtiene que : PQ=PS sen(theta/2) .

Solución 2 por