Solución al Problema PG5

Solución al Problema PG4

Solución 1 por Israel Díaz

Israel Diaz Supongamos que el triangulo mayor inscrito sea ABC en donde theta es la medida del angulo B y ( E en AB ) . 
Sea M el punto medio del segmento EF . 
Y vamos a nombrar las variables angulares: 
Sean alfa=m<EPB ; x=m<EBP ; phi =m<EMP . 
Vamos a utilizar un teorema (*) conocido de la PRE: 
m<EPB=m<MPF . el cual es la llave de la solucion .

Empecemos m>ACP=x luego se cumple que :
PQ = PC sen(x) ......(1)
Ahora ley de senos en el triangulo BEP :
EB . sen(x) = PE . sen(alfa) .....(2) 
Los triangulos PMC y PEF son semejantes : ( la prueba es usando (*) y ciclicos ) 
PE . PC = PM . PF .....(3) 
Por cateto opuesto a hipotenusa : 
PM . sen (phi ) = PS ...(4)
MF = BF . sen(theta/2) ...(5)
Aplicando ley de senos en el triangulo PMF :
PF . sen (alfa) = MF . sen (phi) ....(6) 
Y tambien por isosceles : BF=EB ....(7)

Ahora multiplicando (1) x (2) x (3) x ....x (7) y cancelando se obtiene que : PQ=PS sen(theta/2) .

Solución 2 por

Problema PG3

Solución de Juan Felipe Crisostomo Ramos

Solución 1 de John Ascona Briceño

Solución 2 de John Ascona Briceño

Solución de Carlos Olivera Diaz :

Se demuestra que AL = AM = AD = h y al demostrar , por trigonometria, Juanfelipe que el cuadrado de h = 2AJ.AK, POR DIFERENCIA DE AREAS SE LLEGA : S1 = S2

Solución de Armando Ricardo Michuy Romero:

Si llamamos O al centro de la circunferencia menor y O" centro de la mayor, deducimos que los triángulos BNO y O"QC son semejantes, también los triángulos BMO" y APO son semejantes. De la primera y segunda semejanza se obtiene: n.m=AP.QC. 

Entonces: BH al cuadrado es igual a 2.n.m.

Solución de Josué García Piscoya:

Sea [] forma de mencionar área encerrada de ; [ABH]=AN.BNcot(90º/2) esta es una propiedad que alguna vez la vi en la academia, y ya que AH.HC=BH² entonces [ABH][BHC]=(BH^4)/4 y AN/BN=BM/MC (esto es ver la semejanza) AN.MC=BN.BM=mn. Entonces BH²/2=mn ya está.

Problema PG de inaguración PG - 0

Solución (1) de Israel Díaz Acha: 

 Sale que :
[A1A2A3]=(rArBrC)^2.sen(1/2(A-B))sen(1/2(B-C))sen(1/2(C-A))/8sen(1/2A)sen(1/2B)sen(1/2C) . Y de allí con sus simplificaciones trigonométricas respectivas se debe conseguir dicha igualdad .

Solución (2) de Juan Felipe Crisostomo Ramos

Solución (3) de Julio Orihuela Bastidas

Solución (4) de Carlos Olivera Días:

Carlos Olivera Díaz, saluda y felicita a todos los participantes en el presente problema que tiene una bonita presentación, pareciera un problema difícil, sin embargo, el área de cada triangulo se puede calcular multiplicando cada radio exinscrito correspondiente, por la respectiva proyección de la ceviana de NAGEL ENTRE 2 Y LUEGO MULTIPLICANDO ESTOS TRES RESULTADOS se llega a la relación propuesta.

Solución (5) de Erico Freddy Palacios Loayza